Deda Mraz kao kvantni fenomen

Formulacija problema

Prvi korak u rešavanju bilo kog problema sastoji se u valjanoj postavci. Zato ćemo najpre da se pozabavimo preciziranjem pitanja koja postavljamo i pretpostavki od kojih polazimo.

Deda Mraz ima zadatak da u toku novogodišnje noći stavi pod jelku poklone svoj dobroj deci na svetu. On nosi poklone u vreći na leđima, do kuće u kojoj ima dobre dece se dovozi letećim sankama u koje su upregnuti jeleni, treba da sleti na krov, spusti se niz dimnjak, ostavi poklone ispod lepo okićene jelke, popne se istim putem natrag na krov, i zatim produži dalje. U zgradama i kućama gde ne postoji dimnjak ovaj scenario je malo drugačiji, ali razlike nisu relevantne za našu analizu.

Kako nas interesuje samo gruba procena, rešimo sledeće zadatke, sa zadatim aproksimacijama:

1. Izračunavanje ukupnog broja dobre dece na svetu. Pretpostavićemo da dobra deca čine četvrtinu ukupnog stanovništva planete, koje otprilike iznosi šest milijardi ljudi.
2. Izračunavanje ukupnog broja kuća koje Deda Mraz treba da poseti, kao i srednjeg rastojanja između dve kuće sa dobrom decom. Smatraćemo da su deca homogeno raspoređena po kontinentima koji zauzimaju četvrtinu površine Zemlje, kao i da je u proseku po dvoje dece u istoj kući. Poluprečnik Zemlje je šest hiljada kilometara.
3. Izračunavanje ukupnog vremena koje Deda Mraz ima na raspolaganju da obavi posao, kao i srednjeg vremena po jednoj kući. Uzećemo da novogodišnja noć počinje 31.12. u 21:00, a završava se 1.1. u 7:00. Zbog jednostavnosti, tretiraćemo problem nerelativistički i sa grubom aproksimacijom da sva deca žive u istoj vremenskoj zoni. Zatim ćemo izračunati srednju brzinu sanki.
4. Procena ukupne mase i zapremine vreće sa poklonima koju Deda Mraz treba da ponese sa sobom. Zamislićemo da jedan poklon staje u kutiju zapremine jednog litra i da je težak 200 grama, smatrajući pritom da svako dete dobija po jedan takav poklon.

Pošto smo precizno formulisali pitanja i pretpostavke od kojih polazimo, prelazimo na rešavanje. Generalno gledano, postoje dva moguća pristupa: klasičan i kvantni pristup.

Klasičan pristup

Veoma jednostavnim i pravolinijskim računanjem dobijamo sledeće podatke: ukupan broj dobre dece na svetu je milijardu i po, i žive u 750 miliona kuća. Na osnovu poluprečnika Zemlje nalazimo da je njena površina oko 400 miliona kvadratnih kilometara, dok kontinenti zauzimiaju četvrtinu ovoga, tj. 100 miliona. Pošto pretpostavljamo da su kuće homogeno raspoređene po ovoj površini, imamo da se po jedna kuća sa dvoje dobre dece nalazi na svakih 13 hektara. Ako uzmemo da je plac svake kuće oblika kvadrata sa tolikom površinom i da se kuća nalazi u njegovom težištu, srednje rastojanje između najbližih suseda je jednako osnovici kvadrata, odnosno 365 metara. To je (u proseku) rastojanje koje Deda Mraz treba da pređe između dve uzastopne isporuke poklona. Sa zadatim pretpostavkama, ukupno vreme koje on ima na raspolaganju da obavi posao je 10 sati, odnosno 0.048 milisekundi po jednoj kući. Prosečna brzina sanki  treba da bude 27.4 miliona kilometara na sat. Ukupna zapremina poklona na sankama se smanjuje sa vremenom, a u početnom trenutku iznosi 1.5 milion kubnih metara (oko 600 prosečnih desetospratnih stambenih zgrada). Pošto je svaki poklon po pretpostavci težak 200 grama, ukupna masa vreće je 300 hiljada tona.

Ovi rezultati su, blago rečeno, obeshrabrujući. Deda Mraz nema nikakve šanse da obavi svoj zadatak. Pokušajmo da postavimo zadatak malo preciznije. Na primer uzimajući u obzir različite vremenske zone u kojima žive deca, Deda Mraz će imati nešto više vremena da podeli poklone što smanjuje prosečnu brzinu sanki. Ili, ako se ograničimo samo na hrišćansku decu koja kite jelke njihov broj će se donekle smanjiti. Napokon, ako preciznije zadamo položaje svih kuća i uzmemo u obzir da su područja naseljena ljudima uglavnom zgusnuta u sela i gradove smanjuje se ukupan put koji treba prevaliti. No, i pored svih ovih pretpostavki, sve veličine koje smo izračunali su i dalje krajnje nerealne. Eventualno se može razmotriti scenario u kom Deda Mraz ne radi sam, već ima logističku podršku –  neko je ranije već distribuirao po par poklona negde u okolinu svake kuće, ili postoje pomoćnici, tzv. vršioci dužnosti (v.d.) Deda Mraza koji u njegovom odsustvu isporučuju poklone u njegovo ime – ali i takvi modeli imaju problema. Jedan od najvećih je broj potrebnih pomoćnika i odgovarajuća dispečerska služba koja bi koordinirala dopremanje i isporuku poklona. Napokon, ti modeli nisu u duhu prvobitne, izvorne ideje Deda Mraza koji radi sam.

Sve u svemu, ovo je uglavnom svima poznat, često citiran rezultat, iz koga sledi zaključak da klasična mehanika nije u stanju da na zadovoljavajući način  opiše fenomen Deda Mraza. Međutim, imajući na umu najnovije rezultate koje ćemo sada prikazati, bilo bi krajnje pogrešno zaključiti da Deda Mraz ne postoji. Naprotiv, može se reći da klasična mehanika, koja je po svojoj prirodi aproksimativna teorija, u ovom slučaju greši, tj. nije dovoljno dobra za opis ponašanja Deda Mraza. 

Kvantnomehanički pristup

Procena broja dece, broja kuća, srednjeg rastojanja između njih i ukupnog vremena koje Deda Mraz ima na raspolaganju se ovde ne razlikuju od klasičnog pristupa, i rezultati su isti. Međutim, vreme po jednoj kući, srednja brzina sanki, kao i ukupna zapremina i masa vreće sa poklonima se u kvantnom slučaju drastično razlikuju od klasičnih rezultata. Razmotrimo ovo detaljnije.

Osnovna paradigma (paradigma je filosofsko polazište, skup koncepata u načinu razmišljanja) kvantnog opisa fizičkog sistema sastoji se u osobinama stanja u kome sistem može da se nađe. Jedna od tih osobina je tzv. princip superpozicije stanja koji kaže da ako sistem može da se nađe u stanju A i stanju B, onda može da se nađe i u superpoziciji (zbiru) tih stanja, A+B. Preciznije, zbir dva stanja je takođe stanje. Na primer, ova osobina se koristi kada želimo da opišemo fenomen prolaska jedne čestice istovremeno kroz dva otvora na zaklonu – ako stanje “čestica prolazi kroz gornji otvor” obeležimo sa A, a stanje “čestica prolazi kroz donji otvor” sa B, onda kvantna mehanika tvrdi da je A+B, tj. situacija “čestica prolazi i kroz gornji i kroz donji otvor” takođe stanje u kome čestica može da se nađe (uzgred, ovo nije samo teorija, postoje i eksperimenti koji potvrđuju da se ovakve stvari zaista i događaju). Precizno rečeno, kažemo da se čestica nalazi u stanju koherentne superpozicije. Princip superpozicije stanja je fundamentalna osobina prirode, i veoma je važan.

Druga paradigma kvantnog opisa fizičkog sistema je uticaj merenja na sistem. U klasičnoj fizici se podrazumevalo da možemo da merimo (odnosno posmatramo) neku osobinu nekog fizičkog sistema, a da se fizički sistem ne promeni. U kvantnoj fizici to nije moguće, i svako merenje (posmatranje) sistema obavezno ima uticaj na sistem, što po pravilu (mada ne uvek) menja stanje u kome se sistem nalazi. Taj fenomen se stručno zove kolaps talasne funkcije, i lepo može da se ilustruje na primeru čestice koja prolazi kroz dva otvora. Naime, ako se naša čestica nalazi u stanju A+B (prolazak kroz oba otvora), mi kao eksperimentatori imamo tri mogućnosti:

1. da izmerimo da li je čestica prošla kroz gornji otvor,
2. da izmerimo da li je čestica prošla kroz donji otvor, ili
3. da ne merimo putanju čestice.

Recimo, ako izaberemo prvu opciju i kao rezultat izmerimo da čestica jeste prošla kroz gornji otvor, onda znamo da čestica nije prošla kroz donji otvor. Stanje sistema se promenilo zato što smo vršili merenje, sistem koji je pre merenja bio u stanju A+B nakon merenja je u stanju A i nije u stanju B, talasna funkcija sistema je “kolapsirala” iz A+B u A. Ukoliko bismo kao rezultat istog merenja dobili rezultat da čestica nije prošla kroz gornji otvor, onda bismo znali da jeste prošla kroz donji, tj. talasna funkcija kolapsira iz A+B u B. Slično se događa i ako umesto gornjeg proveravamo donji otvor.

Ali, možemo odabrati i treću opciju, da ne vršimo merenje, i tada sistem ostaje u stanju A+B, nema kolapsa talasne funkcije i zaključujemo da je čestica prošla kroz oba otvora.

Proces kolapsa talasne funkcije se drugim imenom još zove dekoherencija, jer sistem iz stanja koherentne superpozicije prelazi u stanje koje nije u koherentnoj superpoziciji, tj. dolazi do dekoherencije.

Sada kada smo izučili dve osnovne osobine kvantne mehanike, možemo da se vratimo Deda Mrazu i da pokušamo da ga opišemo sa kvantnog stanovišta. Tu nas čeka veliko iznenađenje.

Zamislimo Deda Mraza u kvantnom stanju A(k) gde ostavlja poklone u k-tu kuću (broj k prebrojava sve kuće koje Deda Mraz treba da poseti, od 1 do 750 miliona). Neka sa sobom nosi u vreći svega dva poklona, koja će  ostaviti u kući. Saberimo zatim sva stanja A(k) za sve moguće vrednosti k. Dobijeni zbir je, po zakonima kvantne mehanike, takođe moguće stanje u kome Deda Mraz može da se nađe, tj. koherentna superpozicija svih pojedinačnih stanja. Ako se Deda Mraz nađe u takvom stanju, onda on zapravo ostavlja poklone u svim kućama istovremeno. To onda znači da on ima punih deset sati vremena da se sankama doveze do kuće sa svega par poklona u vreći, sačeka u prikrajku, kada ga niko ne vidi ostavi poklone ispod jelke i odveze se kući. Nema velike brzine sanki, nema 300 hiljada tona poklona, nema samo 0.048 milisekundi vremena za svaku kuću!

I to nije sve, kvantna mehanika elegantno objašnjava i zašto nijedno dete nikada nije videlo Deda Mraza! Prosto, ako bi ga neko dete videlo, njegov položaj bi bio izmeren, došlo bi do kolapsa Deda Mrazove talasne funkcije i ispostavilo bi se da je on bio baš u toj kući i da nije bio u drugim kućama, što nije tačno, jer sva dobra deca pronalaze njegove poklone ispod jelke. Zato, kada vas vaše dete bude jednom pitalo “A zašto ja nikad ne vidim Deda Mraza?”, ispravan odgovor je: “Zato da bi i druga dobra deca mogla da dobiju poklone”.

Kao što vidimo, kvantna mehanika daje sasvim realan i zadovoljavajući opis Deda Mraza, a sem toga pruža i nova predviđanja, tj. daje odgovore na pitanja na koja klasična mehanika nije imala odgovor. Kao što čestica može da prođe kroz dva otvora istovremeno, tako i Deda Mraz može da ostavi poklone u svih 750 miliona kuća istovremeno.Štaviše, da ne bi došlo do dekoherencije Deda Mrazovog kvantnog stanja, nijedno dete ne sme da ga vidi kako ostavlja poklon, što se zapravo i događa. Zaključujemo, kao što smo prethodno obećali da kvantna mehanika sasvim uspešno opisuje fenomen Deda Mraza, čime se pokazuje da Deda Mraz može da postoji, a da jedino klasična mehanika ne ume da ga opiše.

Nedostaci kvantnomehaničkog pristupa

Svako ko hoće da se ozbiljno bavi naukom (pre svega fizikom) mora kritički da posmatra bilo kakav model ili teoriju, bez obzira koliko se ona čini uspešna. Kritika je uslov bez koga nema napretka u nauci, jer u tom slučaju nema novih pitanja na koja bi trebalo odgovoriti, a koja bi se kroz kritiku prirodno javila.

Pa dakle, koji problemi postoje u našem kvantnom modelu Deda Mraza?

1. Pošto je Deda Mraz u stanju koherentne superpozicije kada ostavlja poklone deci, i ti pokloni su u stanju iste takve koherentne superpozicije. Zapravo, to je jedan poklon koji se, poput Deda Mraza, nalazi ispod svih jelki istovremeno. Kako to da, kada dete ujutru nađe poklon i otvori ga, ne dođe do dekoherencije poklona i on nestane ispod svih jelki osim ispod one kod koje ga je “izmerilo” prvo dete?
2. Kako to da samo Deda Mraz, i niko drugi, može da se nađe u superponiranom stanju, tj. na više mesta istovremeno? Zašto to ne možemo i mi ostali da izvedemo?

Ova pitanja su ozbiljna, i pretenduju da ugroze naš model ako se na njih ne odgovori na zadovoljavajući način. Odgovori, dakako, postoje, a treba naknadno proceniti da li su zadovoljavajući,. Idemo redom.

Najpre, ako konzistentno primenjujemo zakone kvantne mehanike, tačno je da će prvo dete koje otvori poklon tim činom izvršiti “merenje” nad njim, pa će talasna funkcija poklona kolapsirati i kao rezultat poklon će se naći kod tog deteta, a kod druge dece neće. To je upravo i bio razlog zbog koga nijedno dete nije moglo da vidi Deda Mraza. Za ovu kritiku ne postoji dobar odgovor, i problem može da se reši jedino ako smislimo bolji model Deda Mraza. Takav model se, svakako, može konstruisati.

Na primer, možemo da pretpostavimo da Deda Mraz negde na Severnom Polu ima veliki hangar sa milijardu i po poklona. Zatim, kada odluči da krene na put, Deda Mraz se nađe u stanju koherentne superpozicije novih stanja, A(k,j), gde svako stanje A(k,j) opisuje Deda Mraza kako u k-toj kući ostavlja j-ti poklon! Zapravo, Deda Mraz se nalazi u superpoziciji stanja u kojoj u svaku kuću donosi drugi, različit poklon. Kada dete sutra ujutru izmeri svoj poklon, doći će do kolapsa talasne funkcije poklona, ali ovaj put on neće nestati ispod ostalih jelki, nego iz hangara. Tako će svako dete dobiti svoj poklon, i problem se ne javlja. Inače, ovakav scenario je moguć, i javlja se na primer u fenomenu koji se zove “kvantna teleportacija” i koji je predmet veoma intenzivnih proučavanja u današnje vreme.

Pokušajmo da se opravdamo i od druge kritike, koja postavlja pitanje zašto se zakoni kvantne mehanike ne vide svuda oko nas, nego samo kad je u pitanju Deda Mraz. Najpre, pojava da neki fizički sistem velikih, svakodnevnih dimenzija ispoljava kvantne osobine, kao u ovom slučaju Deda Mraz, zove se “makroskopski kvantni fenomen” (pogledajte naslov ovog teksta). Zatim, nije tačno da je Deda Mraz jedini fenomen te vrste. Postoji ih nekoliko, a ovde ćemo navesti tri – pojava “superprovodljivosti”, koja opisuje provođenje električne struje bez otpora kroz neke materijale, pojava “superfludnosti”, koja opisuje proticanje izvesnih tečnosti (tečnog helijuma, na primer) bez trenja i viskoznosti, i pojava “feromagnetizma”, tj. postojanje stalnih magneta napravljenih (najčešće) od gvožđa (ako niste znali, magneti sa kojima smo se svi igrali i verovatno ih imamo u kući ne mogu nikako da se opišu klasičnom, već samo kvantnom mehanikom!).

Dakle, makroskopski kvantni fenomeni su obično retki, ali postoje, pa zašto ne bi i Deda Mraz postojao?

Zaključak

Da rezimiramo: zaključili smo (eksplicitnom konstrukcijom modela) da se fenomen Deda Mraza ne može opisati klasičnom mehanikom, ali da se može (istina, uz malo muke) uspešno opisati kvantnom mehanikom. Dakle, ako hoćete za novogodišnju noć koja uskoro nailazi da dobijete poklon od Deda Mraza, budite dobri, okitite jelku i učite kvantnu mehaniku.

Ostalo je samo jedno pitanje na koje nismo dali odgovor, o njemu čak nismo ni diskutovali: kako to da Deda Mrazove sanke mogu da lete? Ako hoćete da jednog dana postanete uspešni fizičari, pokušajte da napravite model Deda Mraza koji će ovo lepo da objasni. U međuvremenu, čovek mora ponekad pomalo i da sanja, zar ne? ;-)